逻辑推理过程仅在最后才出现。事实上，检查所有细节是否真的正确是非常艰苦累人的工作。而在那之前，你必须靠大量的实验、猜测和直观感觉把所有东西融合在一起。
————博尔切兹         　

一般认为数学的基础是严密的逻辑推理，即使与逻辑不尽相同，但也关系密切。但是实际上，数学与逻辑是否真的关系密切呢？数学当然应该遵循逻辑，但逻辑在数学中的作用就像语法在文学中的作用那样。好的文学作品往往是超越语法之上；同样，进行正确的逻辑推理是数学思考的基础，但是真正的数学思考却远在逻辑推理之上。
数学就是研究自然现象中数学现象的科学。因此，理解数学就要“观察”数学现象。这里说的“观察”不是用眼睛去看，而是根据某种感觉用心去体会。这种感觉显然是不同于逻辑推理能力之类的理性感觉，更接近于视觉，也可称之为直觉，为了强调是纯粹感觉，以下称此感觉为“数觉”。直觉包含着“一瞬领悟真谛”的含义，不太贴切。数学的敏锐，如同听觉的 敏锐一样，与头脑好坏没有关系。没有数觉的人不懂数学就像五 音不全的人不懂音乐一样（这只要担当数学不行的孩子的家庭教师就马上明白。你眼前看到的事情孩子却怎么也看不见，说明起来很吃力）。数学家通常并不觉得 在证明定理时主要依靠数觉，更多认为是逻辑上的严谨证明，实际并非如此，如果把证明全部用纯粹形式逻辑的记号写下就会发现这是非常冗长的。 但数学如何发现这个定理以及找到证明定理的方法，是在那一瞬间数觉的奇妙作用。

正如专长冯.诺伊曼代数的数学家阿兰.孔涅说建议的：
当你在攻克一个很复杂的问题（常常带有计算）时，出去走一段很长的路，并且在自己的脑海中进行计算（不要顾忌对此的第一感觉，相信你是可以解决它的），这是一项很明智的运动，即使有时不能成功解决它，这无疑也训练了你的实时记忆，并且在训练中强化了这种技巧。

所有数学研究所在电子邮件盛行和电脑屏幕处处可见的今天，数学家们在高强度做研究的阶段经常会又很难像合作者作解释的时候，那就是可是试着在黑暗中躺在沙发上的时候。不幸的是，这种将自己隔离起来然后专心思考的方式开始变得越来越少，而它也变得越来越珍贵。

这其实间接地说明，盯着数学书看做研究不是聪明的行为，而抛开书本在舒适的环境下依靠大脑中的数觉，加之已有的数学知识作为基础，那么思考的结果常常是令人惊讶的！《The Psychology of Invention in the Mathematical Field》上有一段关于庞加莱的思考习惯的介绍，很有代表性。庞加莱经常在去海边休假或者在路上走的时候在脑海中思索数学问题，很多时候解答就在这些时候忽然闪现。